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Linear Algebra

Linear Space​

向量空间的一组基: 张成 (span) 该空间的一个线性无关 (linearly independent) 向量集.

Linear Transformation​

线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射, 满足加法和数乘运算的线性性质:

L(αv⃗+βw⃗)=αL(v⃗)+βL(w⃗)\begin{equation} L(\alpha\vec{v}+\beta\vec{w})=\alpha{L(\vec{v})}+\beta{L(\vec{w})} \end{equation}

Matrix representation:

v⃗=xi⃗+yj⃗=[xy]Av⃗=xi^+yj^=x[ac]i⃗+y[bd]j⃗=[abcd][xy]A2A1=A2i^+A2j^=([a2b2c2d2][a1c1])i⃗+([a2b2c2d2][b1d1])j⃗=(a1[a2c2]+c1[b2d2])i⃗+(b1[a2c2]+d1[b2d2])j⃗=[a2a1+b2c1a2b1+b2d1c2a1+d2c1c2b1+d2d1]\begin{split} \vec{v}&=x\vec{i}+y\vec{j} \\ &=\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \\ A\vec{v}&=x\hat{i}+y\hat{j} \\ &=x\begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix}\vec{i} +y\begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}\vec{j} \\ &=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix} \\ A_2A_1&=A_2\hat{i}+A_2\hat{j} \\ &=(\begin{bmatrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1 \\ c_1 \end{bmatrix})\vec{i} +(\begin{bmatrix}a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 \\ d_1\end{bmatrix})\vec{j} \\ &=(a_1\begin{bmatrix}a_2 \\ c_2\end{bmatrix} +c_1\begin{bmatrix}b_2 \\ d_2\end{bmatrix})\vec{i} +(b_1\begin{bmatrix}a_2 \\ c_2\end{bmatrix} +d_1\begin{bmatrix}b_2 \\ d_2\end{bmatrix})\vec{j} \\ &=\begin{bmatrix} a_2a_1+b_2c_1 & a_2b_1+b_2d_1 \\ c_2a_1+d_2c_1 & c_2b_1+d_2d_1 \end{bmatrix} \end{split}
Matrix Multiplication

左乘矩阵相当于对列向量进行线性变换, 右乘矩阵相当于对行向量进行线性变换.

Am×nA_{m\times n} 表示 n 维空间到 m 维空间的线性变换:

  • n 列: 输入空间有 n 个基向量, 即为 n 维空间.
  • m 行: 输出空间每个基向量对应 m 个坐标, 即为 m 维空间.
  • A1×nA_{1\times n} 表示 n 维空间到一维空间的线性变换: 向量点乘 (Dot Product) v⃗⋅w⃗\vec{v} \cdot \vec{w} 可以理解为 w⃗\vec{w} 通过 V1×nV_{1\times n} 变换到一维空间后的投影.
Dot Product and Cross Product
  • Dot Product: v⃗⋅w⃗=∥v⃗∥∥w⃗∥cos⁡θ\vec{v} \cdot \vec{w}=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\cos{\theta}.
  • Cross Product: ∥v⃗×w⃗∥=∥v⃗∥∥w⃗∥sin⁡θ\|\vec{v} \times \vec{w}\|=\|\vec{v}\|\|\vec{w}\|\sin{\theta}.
  • v⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{v}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0, w⃗⋅(v⃗×w⃗)=0\vec{w}\cdot(\vec{v}\times\vec{w})=0.

Basis changes, translating transformations:

vp⃗=P−1APwp⃗\vec{v_p}=P^{-1}AP\vec{w_p}

Determinant​

det⁡(A)\det(A) 表示矩阵 A 的行列式, 表示该变换对空间的缩放因子:

Determinant

det⁡(A)=0\det(A)=0 时, 表示该变换将空间压缩到一个低维空间, 称矩阵 AA 为奇异矩阵 (Singular Matrix):

  • 矩阵 AA 列向量线性相关.
  • 矩阵 AA 不满秩 (Not full rank).
  • 矩阵 AA 不可逆.

Determinant for 2d matrix:

∣abcd∣=ad−bc\begin{equation} \begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc \end{equation}

Determinant Diagram

Determinant for 3d matrix:

∣abcdefghi∣=a∣efhi∣−b∣dfgi∣+c∣degh∣\begin{equation} \begin{vmatrix}a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i\end{vmatrix} =a\begin{vmatrix}e & f \\ h & i\end{vmatrix} -b\begin{vmatrix}d & f \\ g & i\end{vmatrix} +c\begin{vmatrix}d & e \\ g & h\end{vmatrix} \end{equation}

Determinant for matrix multiplication:

det⁡(A1A2)=det⁡(A1)det⁡(A2)\begin{equation} \det(A_1A_2)=\det(A_1)\det(A_2) \end{equation}

Gaussian Elimination​

高斯消元法求解线性方程组 (Linear System Of Equations):

首先第一行的第一个元素化为 1, 下面每行减去第一行乘以该行第一个元素的倍数, 从而把第一列除第一行外的全部元素都化为 0, 进而把第二列除前两个元素之外的元素都化为 0, 最后把矩阵化为上三角矩阵. 类似地, 从最后一行开始, 逐行把上三角矩阵化为单位矩阵.

Ax⃗=v⃗A−1Ax⃗=A−1v⃗x⃗=A−1v⃗\begin{split} A\vec{x}&=\vec{v} \\ A^{-1}A\vec{x}&=A^{-1}\vec{v} \\ \vec{x}&=A^{-1}\vec{v} \end{split}

Eigenvalue and Eigenvector​

A=[abcd]A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} eigenvalue Av⃗=λv⃗A\vec{v}=\lambda\vec{v} quick calculation:

λ=m±m2−p=λ1+λ22±(λ1+λ22)2−λ1λ2=a+d2±(a+d2)2−(ad−bc)\begin{split} \lambda&=m\pm\sqrt{m^2-p} \\ &=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} \pm\sqrt{(\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2})^2-\lambda_1\lambda_2} \\ &=\frac{a+d}{2}\pm\sqrt{(\frac{a+d}{2})^2-(ad-bc)} \end{split}

References​